Задачи на построение

Задачи на построение

Целью этой системы уроков является развитие комбинаторного мышления учащихся.

Простота построений в «Живой геометрии» позволяет рассмотреть вопрос о допустимых значениях переменных, о множестве решений, однако эти умения должны опираться также на построения с помощью циркуля и линейки.

Уроки по теме «Задачи на построение»

Сценарии уроков по темам:

1-2.Элементарные построения:

построение треугольников по трем сторонам,

построение равных углов,

построение треугольников по двум сторонам и углу

между ними;

построение треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3.Элементарные построения.

Выполнение движений ( повторение).

4.Элементарные построения. Геометрическое место точек.

построение перпендикуляра

построение биссектрисы

построение серединного перпендикуляра

построение параллельной прямой

5.Решение задач на построение.

построение треугольника по заданным элементам.

построение прямоугольных треугольников

с использованием программы

«Живая геометрия»

.Учитель Бирюкова С.С.

Гимназия 1576

6-й класс 2002-2003 уч. год

Уроки 1-2.

Элементарные построения

Задачей уроков является отработка навыков построения циркулем и линейкой и в программе «Живая геометрия».

Необходимые знания: теоремы о признаках равенства треугольников, признаках и свойствах параллелограмма, признаках и свойствах параллельности прямых, движения, расстояние от точки до прямой,

Вводная часть: рассказ об истории вопроса, построения циркулем и линейкой в древней Греции.

Описываем порядок действий при решении задач на построение: анализ,

построение, множество решений, доказательство.

1.Построение треугольника по трем сторонам.

-Анализ: при помощи линейки можно провести луч АВ, при помощи циркуля – построить на нем отрезок заданной длины.

Вершина С находится на пересечении множеств точек, удаленных на расстояние АС от точки А (окружности с центром в точке А и радиусом АС), и множества точек, удаленных на расстояние ВС от точки В ( окружность с центром в точке В радиусом ВС).

-Построение циркулем и линейкой:

1.Строим ,

2.Откладываем на нем .

3.Строим окружность с центром в точке А радиусом АС.

4.Строим окружность с центром в точке В радиусом ВС.

5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной треугольника.

Построение в "Живой геометрии":

-Множество решений: задача имеет два решения;

в «Живой геометрии» есть возможность показать при каких значениях длин отрезков задача имеет решение (неравенство треугольника).

-Доказательство: полученный треугольник согласно построению удовлетворяет условию задачи.

2.Построение угла, равного данному.

-Анализ: сводим задачу к построению равного треугольника циркулем и линейкой и к повороту в построении в «Живой геометрии».

-Построение циркулем и линейкой:

Проводим окружность с центром в вершине заданного угла, точки пересечения окружности со сторонами угла и вершина угла образуют треугольник, одним из углов которого является заданный угол.

-Построение в «Живой геометрии»

-Множество решений: задача имеет два решения.

-Доказательство: угол Е равен углу С согласно построению.

3.Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

-Анализ: задача сводится к построению угла, равного данному.

-Построение циркулем и линейки:

1.Строим угол, равный данному.

2.На сторонах угла откладываем длины заданных отрезков.

3.Соединяем полученные точки отрезком.

-Построение в программе «Живая геометрия»

-Множество решений: задача имеет четыре решения.

-Доказательство: треугольник DEF является искомым, так как содержит заданный угол и две стороны с заданными длинами.

4.Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Самостоятельная работа.

Урок 3

Элементарные построения.

Выполнение движений циркулем и линейкой,

а также в программе «Живая геометрия».

Задачей урока является повторение выполнения движений в «Живой геометрии» и обучению выполнению

1.Дать определения осевой симметрии, поворота, центральной симметрии, параллельного переноса.

Урок 3

Элементарные построения.

Геометрическое место точек.

Задачей урока является отработка навыков построения циркулем и линейкой и в программе «Живая геометрия».

умение выполнять в «Живой геометрии» движения.

Геометрическое место точек понятие восходит к Платону, который считал, что точка не имеет размеров, поэтому при «прикладывании» точек одна к другой линию получить нельзя. Поэтому линия рассматривается как место, где могут находиться точки, обладающие тем или иным свойством. В современной математике рассматриваются геометрические фигуры как множества точек.

1.Построение перпендикуляра.

-Анализ: ось симметрии перпендикулярна отрезку, соединяющему симметричные точки. Ось симметрии равноудалена от симметричных точек.

-Построение циркулем и линейкой: строим симметричные точки, затем строим ось симметрии.

-Построение в программе «Живая геометрия»: выделяем отрезок и точку и в меню Построение – перпендикуляр.

-Доказательство: концы построенного отрезка симметричны относительно построенной прямой, значит прямая перпендикулярна отрезку.

2.Построение биссектрисы угла.

-Анализ: биссектриса является осью симметрии угла.

-Построение циркулем и линейкой: строим симметричные точки на сторонах угла, проводим их ось симметрии.

-Построение в «Живой геометрии»: выделяем угол и меню Построение – биссектриса угла.

-Доказательство: угол делится осью симметрии на две равные части, следовательно, ось симметрии является биссектрисой.

3.Построение серединного перпендикуляра.

-Анализ: серединный перпендикуляр является осью симметрии отрезка.

-Построение циркулем и линейкой: строим ось симметрии отрезка.

-Построение в «Живой геометрии»: выделяем отрезок, в меню Построение – середина, проводим перпендикуляр через середину отрезка.

-Доказательство: построенная прямая является осью симметрии отрезка, следовательно перпендикулярна к нему и проходит через его середину.

4.Построение параллельной прямой.

Рассмотрим два способа построения параллельной прямой:

I – основан на построении центрально симметричной точки.

-Анализ: прямая параллельная данной центрально симметрична относительно середины отрезка с концами в данной точке и на прямой.

-Построение циркулем и линейкой: проводим отрезок, одним концом которого является данная точка, а другой конец лежит на прямой, находим середину отрезка, которая является центром симметрии, проводим через нее прямую, пересекающую данную, и откладываем на этой прямой от центра симметрии отрезок, длина которого равна расстоянию от центра симметрии до точки пересечения прямых.

II – основан на построении двух перпендикуляров:

-Анализ: при построении перпендикуляра к перпендикулярной прямой получаем сумму внутренних односторонних углов равную 180⁰, следовательно второй перпендикуляр будет параллелен исходной прямой.

-Построение циркулем и линейкой: проводим перпендикуляр к данной прямой, проходящий через заданную точку, затем строим второй перпендикуляр к перпендикуляру, проходящий через ту же точку.

-Построение в «Живой геометрии»: выделяем прямую и точку, в меню Построение – перпендикуляр.

Самостоятельная работа.

5.Выполнение параллельного переноса отрезка на заданный вектор.

6.Построение прямой, параллельной данной, находящейся на заданном расстоянии от данной прямой.

Урок 4

Задачи на построение

Построение треугольника по заданным элементам

1.Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.

2.Постройте треугольник по двум сторонам и углу напротив одной из них.

3.По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

4.По стороне, прилежащему углу и биссектрисе этого угла.

Урок 5

Задачи на построение

Построение прямоугольных треугольников.

Доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников.

Ввести определения для элементов прямоугольного треугольника

1.Построить прямоугольный треугольник по двум катетам.

2.Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу ( рассмотреть два случая).

3.Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

4.Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Записать признаки равенства прямоугольных треугольников.

Урок 6

Задачи на построение